PERSAMAAN DIOPHANTINE

Persamaan Diophantine
Diophantus tinggal di Alexandria, Mesir, sekitar 1800 tahun yang lalu.
Bukunya yang berjudul Arithmetica memberikan metode untuk menyelesaikan
berbagai persamaan aljabar dan memiliki pengaruh besar pada pengembangan
teori aljabar dan bilangan selama bertahun-tahun. Bagian dari teori bilangan yang
disebut persamaan Diophantine, dinamakan persamaan Diophantine karena untuk
menghormati dirinya.
Teorema :
Persamaan linear Diophantine ax + by = c mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika (a, b) l c. Bukti :
Misalkan (a, b) = d dan d l c
d l c⇔ ada sehingga c = kd
d l (a, b) ⇔ ada m dan n sehingga am + bm = d
 ⇔ a (km) = b (kn) = kd
 ⇔ a (km) + b (kn) = c
Diperoleh x = m k dan y = n k
Teorema 2.1 :
Persamaan Diophantine merupakan suatu persamaan berbentuk ax + by =
c dengan a, b, c merupakan bilangan bulat dan a, b bukan 0 (nol). Dimana k
adalah bilangan bulat dan GCD (a,b) = d. Jika penyelesaian dicari untuk bilangan
bulat. Maka penyelesaiannya adalah

Contoh :
Tentukan penyelesaian umum persamaan Diophantine 738x + 621y = 45 !
o 738 = 1 × 621 + 117
621 = 5 × 117 + 36
117 = 3 × 36 + 9
36 = 4 × 9 + 0
GCD = 9
o 9 l 45 = 5
Artinya dapat dicari x dan y
o Mencari Xo dan Yo
9 = 117 – (3×36)
9 = 117 – 3 (621 – 5×117)
9 = 117 – 3×621 + 15×117
9 = -3×621 + 16×117
9 = -3×621 + 16 (738 – 1×621)
9 = -3×621 + 16×738 – 16×621
9 = 16×738 – 19×621 (dikali 5)
45 = 80×738 – 95×621
Xo = 80 Yo = -95
o Persamaan Diophantine
X = - 80 + 69k
Y = - 95 - 82k

SUMBER : BU WINDIA HADI M.Pd

DOSEN : UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

MATAKULIAH : TEORI BILANGAN