TEORI KETERBAGIAN

TEORI KETERBAGIAN

A. Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat
1. Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat a ≠ 0.
Kita menyatakan bahwa a habis membagi b (a divides b) jika terdapat
bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.
2. Notasi: a | b jika b = ac, c ∈ Z dan a ≠ 0. (Z = himpunan bilangan
bulat) Kadang-kadang pernyataan “a habis membagi b“ ditulis juga
“b kelipatan a”. Contoh : 4 | 12 karena 12 ÷ 4 = 3 (bilangan bulat) atau
12 = 4 × 3. Tetapi 4 | 13 karena 13 ÷ 4 = 3.25 (bukan bilangan bulat).

B. Algoritma Pembagian
Jika a dan b adalah bilangan bulat, ketika kita membagi a dan b
kita mendapatkan bilangan bulat jika dan hanya jika b a. misalnya, kita
dapat mengatakan bahwa 14 dibagi dengan 4 dengan sisa 2. Kita dapat
menulis ini sebagai 14 = 3×4 + 2. Maka ketika a dan b merupakan
bilangan bulat jika b > 0 maka ada bilangan bulat unik q ( hasil bagi) dan r
(sisanya) sehingga

 Contoh :

1. Keitka a = 27, b = 7. Maka 27 = 7 . 3 + 6, jadi q = 3 dan r = 6
2. Ketika a = 24, b = 8. Maka 24 = 8 . 3, jadi q = 3 dan r = 0
3. Ketika a = -27, b = 7. Maka -27 = 7 . (-4) + 1, jadi q = -4 dan r = 1
4. Ketika a = 0 dan b = 5. Maka 0 = 5 . 0 + 0, jadi q = 0 dan r = 0

C. Sifat Keterbagian :
1. a l a (sifat reflektif)
2. a l b dan b l c maka a l c (sifat transitif)
3. a l b maka a l m . b untuk ∈ m ∈ z
4. a l b dan a l c maka a l b+c, a l b-c, a l b.c
5. ab l c maka b l c dan a l c
6. a l b dan a l c maka [(bx + by)] untuk z ∈ x, y
Contoh :
1) 2 l 2 = 1
2) 2 l 6 dan 6 l 8 maka 2 l 8 = 4 (bilangan bulat)
3) 2 l 6 maka 2 l 1 . 6 = 3 (bilangan bulat)
2 l 0 . 6 = 0 (bilangan bulat)
2 l -1 . 6 = -3 (bilangan bulat)
4) 3 l 9 dan 3 l 27 maka 3 l 9 + 27 = 12 (bilangan bulat)
3 l 9 – 27 = -6 (bilangan bulat)
3 l 9 . 27 = 0 (bilangan bulat)
5) 6 l 18, faktor dari adalah 2 dan 3. Maka 2 l 18 dan 3 l 18.
2 l 18 = 9 (bilangan bulat) dan 3 l 18 = 6 (bilangan bulat)

D. Keterbagian oleh 2n
Suatu bilangan habis dibagi oleh 2n
. jika n digit terakhir bilangan
tersebut habis dibagi oleh 2n
.
1. Suatu bilangan habis dibagi 2n
. Jika digit terakhir itu habis dibagi
2.
2. Suatu bilangan habis dibagi 4 atau 22
. Jika 2 digit terakhir itu habis
dibagi 4. Dan seterusnya.
Contoh :
Apakah 927683792562 habis dibagi oleh 2, 4, 8, dan 16?
1) Dibagi 2 : 2 2 = 1 (bilangan bulat)
2) Dibagi 4 : 4 62 = 15,5 (bilangan desimal)
3) Dibagi 8 : 8 562 = 70,2 (bilangan desimal)
4) Dibagi 16 : 16 2562 = 160,1 (bilangan desimal)

E. Keterbagian oleh 3, 9, dan 11
Misalkan bilangan a = an, an-1, …, a, a0
1. Bilangan a habis dibagi 3 atau 9. Jika jumlah angkanya habis
dibagi oleh 3 atau 9 (an + an-1 + an-2 … - a1 + a0)
2. Bilangan a habis dibagi 11. Jika jumlah silang tanda ganti angka-angkanya
habis dibagi 11 (an - an-1 + an-2 … - a1 + a0)
Contoh :
Apakah 927683792562 habis dibagi oleh 3, 9, 11
1) 9+2+7+6+8+3+7+9+2+5+6+2 = 66
Dibagi 3 : 3 66 = 22 (bilangan bulat)
Dibagi 9 : 9 66 = 7,3 (bilangan desimal)
2) 9-2+7-6+8-3+7-9+2-5+6-2 = 12
Dibagi 11 : 11 12 = 1,09 (bilangan desimal)

F. Keterbagian oleh 5, 7, 13, 17, 19
1. Suatu bilangan habis dibagi 5. Jika bilang tersebut berakhir 0 atau 5.
2. Suatu bilangan habis dibagi 7. Jika bilangan bagian satuannya
dikalikan oleh 2, kemudian dikurangi dari bilangan sebelumnya.
3. Suatu bilangan habis dibagi 13. Jika bilangan bagian satuannya
dikalikan oleh 9 dan dikurangi dari bilangan sebelumnya.
4. Suatu bilangan habis dibagi 17. Jika bilangan bagian satuannya
dikalikan oleh 5 dan dikurangi dari bilangan sebelumnya.
5. Suatu bilangan habis dibagi 19. Jika bilangan bagian satuannya
dikalikan oleh 2 dan ditambah dengan bilangan sebelumnya.
Contoh :
Apakah bilangan 993740 habis dibagi 5, 7, 13, 17 dan 19?
1. Dibagi 5 : memiliki bilangan akhir 0 (bilangan bulat)
2. Dibagi 7 : 99374 – 0(2) = 99374
9937 – 4(2) = 9929
992 – 9(2) = 974
97 – 4(2) = 89
7 l 89 = 12,7 (bilangan desimal)
3. Dibagi 13 : 99374 – 0(9) = 99374
9937 – 4(9) = 9901
990 – 1(9) = 981
98 – 1(9) = 89
13 l 89 = 6,8 (bilangan desimal)
4. Dibagi 17 : 99374 – 0(5) = 99374
9937 – 4(5) = 9917
991 – 7(5) = 956
95 – 6(5) = 65
17 l 65 =3,8 (bilangan desimal)
5. Dibagi 19 : 99374 + 0(2) = 99374
9937 + 4(2) = 9945
994 + 5(2) = 1004
100 + 4(2) = 108
10 + 8(2) = 26
19 l 26 = 1,3 (bilangan desimal)

SUMBER : BU WINDIA HADI M.Pd

DOSEN : UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

MATAKULIAH : TEORI BILANGAN