TEORI KETERBAGIAN

TEORI KETERBAGIAN

A. Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat
1. Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat a ≠ 0.
Kita menyatakan bahwa a habis membagi b (a divides b) jika terdapat
bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.
2. Notasi: a | b jika b = ac, c ∈ Z dan a ≠ 0. (Z = himpunan bilangan
bulat) Kadang-kadang pernyataan “a habis membagi b“ ditulis juga
“b kelipatan a”. Contoh : 4 | 12 karena 12 ÷ 4 = 3 (bilangan bulat) atau
12 = 4 × 3. Tetapi 4 | 13 karena 13 ÷ 4 = 3.25 (bukan bilangan bulat).

B. Algoritma Pembagian
Jika a dan b adalah bilangan bulat, ketika kita membagi a dan b
kita mendapatkan bilangan bulat jika dan hanya jika b a. misalnya, kita
dapat mengatakan bahwa 14 dibagi dengan 4 dengan sisa 2. Kita dapat
menulis ini sebagai 14 = 3×4 + 2. Maka ketika a dan b merupakan
bilangan bulat jika b > 0 maka ada bilangan bulat unik q ( hasil bagi) dan r
(sisanya) sehingga

 Contoh :

1. Keitka a = 27, b = 7. Maka 27 = 7 . 3 + 6, jadi q = 3 dan r = 6
2. Ketika a = 24, b = 8. Maka 24 = 8 . 3, jadi q = 3 dan r = 0
3. Ketika a = -27, b = 7. Maka -27 = 7 . (-4) + 1, jadi q = -4 dan r = 1
4. Ketika a = 0 dan b = 5. Maka 0 = 5 . 0 + 0, jadi q = 0 dan r = 0

C. Sifat Keterbagian :
1. a l a (sifat reflektif)
2. a l b dan b l c maka a l c (sifat transitif)
3. a l b maka a l m . b untuk ∈ m ∈ z
4. a l b dan a l c maka a l b+c, a l b-c, a l b.c
5. ab l c maka b l c dan a l c
6. a l b dan a l c maka [(bx + by)] untuk z ∈ x, y
Contoh :
1) 2 l 2 = 1
2) 2 l 6 dan 6 l 8 maka 2 l 8 = 4 (bilangan bulat)
3) 2 l 6 maka 2 l 1 . 6 = 3 (bilangan bulat)
2 l 0 . 6 = 0 (bilangan bulat)
2 l -1 . 6 = -3 (bilangan bulat)
4) 3 l 9 dan 3 l 27 maka 3 l 9 + 27 = 12 (bilangan bulat)
3 l 9 – 27 = -6 (bilangan bulat)
3 l 9 . 27 = 0 (bilangan bulat)
5) 6 l 18, faktor dari adalah 2 dan 3. Maka 2 l 18 dan 3 l 18.
2 l 18 = 9 (bilangan bulat) dan 3 l 18 = 6 (bilangan bulat)

D. Keterbagian oleh 2n
Suatu bilangan habis dibagi oleh 2n
. jika n digit terakhir bilangan
tersebut habis dibagi oleh 2n
.
1. Suatu bilangan habis dibagi 2n
. Jika digit terakhir itu habis dibagi
2.
2. Suatu bilangan habis dibagi 4 atau 22
. Jika 2 digit terakhir itu habis
dibagi 4. Dan seterusnya.
Contoh :
Apakah 927683792562 habis dibagi oleh 2, 4, 8, dan 16?
1) Dibagi 2 : 2 2 = 1 (bilangan bulat)
2) Dibagi 4 : 4 62 = 15,5 (bilangan desimal)
3) Dibagi 8 : 8 562 = 70,2 (bilangan desimal)
4) Dibagi 16 : 16 2562 = 160,1 (bilangan desimal)

E. Keterbagian oleh 3, 9, dan 11
Misalkan bilangan a = an, an-1, …, a, a0
1. Bilangan a habis dibagi 3 atau 9. Jika jumlah angkanya habis
dibagi oleh 3 atau 9 (an + an-1 + an-2 … - a1 + a0)
2. Bilangan a habis dibagi 11. Jika jumlah silang tanda ganti angka-angkanya
habis dibagi 11 (an - an-1 + an-2 … - a1 + a0)
Contoh :
Apakah 927683792562 habis dibagi oleh 3, 9, 11
1) 9+2+7+6+8+3+7+9+2+5+6+2 = 66
Dibagi 3 : 3 66 = 22 (bilangan bulat)
Dibagi 9 : 9 66 = 7,3 (bilangan desimal)
2) 9-2+7-6+8-3+7-9+2-5+6-2 = 12
Dibagi 11 : 11 12 = 1,09 (bilangan desimal)

F. Keterbagian oleh 5, 7, 13, 17, 19
1. Suatu bilangan habis dibagi 5. Jika bilang tersebut berakhir 0 atau 5.
2. Suatu bilangan habis dibagi 7. Jika bilangan bagian satuannya
dikalikan oleh 2, kemudian dikurangi dari bilangan sebelumnya.
3. Suatu bilangan habis dibagi 13. Jika bilangan bagian satuannya
dikalikan oleh 9 dan dikurangi dari bilangan sebelumnya.
4. Suatu bilangan habis dibagi 17. Jika bilangan bagian satuannya
dikalikan oleh 5 dan dikurangi dari bilangan sebelumnya.
5. Suatu bilangan habis dibagi 19. Jika bilangan bagian satuannya
dikalikan oleh 2 dan ditambah dengan bilangan sebelumnya.
Contoh :
Apakah bilangan 993740 habis dibagi 5, 7, 13, 17 dan 19?
1. Dibagi 5 : memiliki bilangan akhir 0 (bilangan bulat)
2. Dibagi 7 : 99374 – 0(2) = 99374
9937 – 4(2) = 9929
992 – 9(2) = 974
97 – 4(2) = 89
7 l 89 = 12,7 (bilangan desimal)
3. Dibagi 13 : 99374 – 0(9) = 99374
9937 – 4(9) = 9901
990 – 1(9) = 981
98 – 1(9) = 89
13 l 89 = 6,8 (bilangan desimal)
4. Dibagi 17 : 99374 – 0(5) = 99374
9937 – 4(5) = 9917
991 – 7(5) = 956
95 – 6(5) = 65
17 l 65 =3,8 (bilangan desimal)
5. Dibagi 19 : 99374 + 0(2) = 99374
9937 + 4(2) = 9945
994 + 5(2) = 1004
100 + 4(2) = 108
10 + 8(2) = 26
19 l 26 = 1,3 (bilangan desimal)

SUMBER : BU WINDIA HADI M.Pd

DOSEN : UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

MATAKULIAH : TEORI BILANGAN

SOAL DAN PEMBAHASAN GREATEST COMMON DIVISOR (GCD)

Soal GCD
1. Tentukan GCD dari ( 156, 65 )
Jawab :
GCD dari ( 156, 65 )
156 = 2 X 65 + 26
65 = 2 X 26 + 13
26 = 2 X 13 + 0
GCD ( 156, 65 ) = 13
2. Tentukan GCD dari ( 1258, 2000 )
Jawab :
GCD dari ( 1258, 2000 )
2000 = 1 X 1258 + 742
1258 = 1 X 742 + 516
742 = 1 X 516 + 226
516 = 2 X 226 + 64
226 = 3 X 64 + 34
64 = 1 X 34 + 30
34 = 1 X 30 + 4
30 = 7 X 4 + 2
4 = 2 X 2 + 0
GCD ( 1258, 2000 ) = 2
3. Tentukan GCD dari ( 2158, 500 )
Jawab :
GCD dari ( 2158, 500 )
2158 = 4 X 500 + 158
500 = 3 X 158 + 26
158 = 6 X 26 + 2
26 = 13 X 2 + 0
GCD ( 2158, 500 ) = 2
4. Tentukan GCD dari ( 100, 250 )
Jawab :
GCD dari ( 100, 250 )
250 = 2 X 100 + 50
100 = 2 X 50 + 0
GCD ( 100, 250 ) = 50
5. Tentukan GCD dari ( 550, 2 )
Jawab :
GCD dari ( 550, 2 )
550 = 275 X 2 + 0
GCD ( 550, 2 ) = 2
6. Tentukan GCD dari ( 70, 8 )
Jawab :
GCD dari ( 70, 8 )
70 = 8 X 8 + 6
8 = 1 X 6 + 2
6 = 3 X 2 + 0
GCD  ( 70, 8 ) = 2
7. Tentukan GCD dari ( 22, 5 )
Jawab :
GCD dari ( 22, 5 )
22 = 4 X 5 + 2
5 = 2 X 2 + 1
2 = 2 X 1 + 0
GCD ( 22, 5 ) = 1
8. Tentukan GCD dari ( 95, 60 )
Jawab :
GCD dari ( 95, 60 )
95 = 1 x 60 + 35
60 = 1 x 35 + 25
35 = 1 x 25 + 10
25 = 2 x 10 + 5
10 = 2 x 5 + 0
GCD ( 95, 60 ) = 5
9. Tentukan GCD dari ( 15, 3 )
Jawab :
GCD dari ( 15, 3 )
15 = 5 X 3 + 0
GCD ( 15, 3 ) = 3
10. Tentukan GCD dari ( 75, 20 )
Jawab :
GCD dari ( 75, 20 )
75 = 3 X 20 + 15
20 = 1 X 15 + 5
15 = 3 X 5 + 0
GCD ( 75, 20 ) = 5
11. Tentukan GCD dari ( 25, 10)
Jawab :
GCD dari ( 25, 10,)
25 = 2 X 10 + 5
10 = 2 X 5 + 0
GCD ( 25, 10 ) = 5
12. Tentukan GCD dari ( 755, 10 )
Jawab :
GCD dari ( 755, 10 )
755 = 75 X 10 + 5
10 = 2 X 5 + 0
GCD ( 755, 10 ) = 5
13. Tentukan GCD dari ( 50, 25 )
Jawab :
GCD dari ( 50, 25 )
50 = 2 X 25 + 0
GCD ( 50, 25 ) = 25
14. Tentukan GCD dari ( 90, 20 )
Jawab :
GCD dari ( 90, 20 )
90 = 4 X 20 + 10
20 = 2 X 10 + 0
GCD ( 90, 20 ) = 10
15. Tentukan GCD dari ( 85, 7 )
Jawab :
GCD dari ( 85, 7 )
85 = 12 X 7 + 1
7 = 7 X 1 + 0
GCD ( 85, 7 ) = 1
16. Tentukan GCD dari ( 19, 2 )
Jawab :
GCD dari ( 19, 2 )
19 = 9 X 2 + 1
2 = 2 X 1 + 0
GCD ( 19, 2 ) = 1
17. Tentukan GCD dari ( 1700, 200 )
Jawab :
GCD dari ( 1700, 200 )
1700 = 8 X 200 + 100
200 = 2 X 100 + 0
GCD ( 1700, 200 ) = 100
18. Tentukan GCD dari ( 220, 15 )
Jawab :
GCD dari ( 220, 15 )
220 = 14 X 15 + 10
15 = 1 X 10 + 5
10 = 2 X 5 + 0
GCD ( 220, 15 ) = 5
19. Tentukan GCD dari ( 350, 30 )
Jawab :
GCD dari ( 350, 30 )
350 = 11 X 30 + 20
30 = 1 X 20 + 10
20 = 2 X 10 + 0
GCD ( 350, 30 ) = 10
20. Tentukan GCD dari ( 40, 10 )
Jawab :
GCD dari ( 40, 10 )
40 = 4 X 10 + 0
GCD ( 40, 10 ) = 10

SUMBER : BU WINDIA HADI M.Pd

DOSEN : UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

MATAKULIAH : TEORI BILANGAN

GREATEST COMMON DIVISOR (GCD)

Greatest Common Divisor (GCD)
Pembagi dari 12 adalah 1, 2,3,4,6, dan 12. Pembagi dari 18 adalah 1, 2, 3,
6, 9 dan 18. Maka (1,2,3,6) adalah himpunan pembagi umum dari 12 dan 18.
Asumsikan bahwa a dan b adalah dua buah bilangan bulat tidak 0. Pembagi
bersama terbesar (Greatest Common Divisor) dari a dan b adalah bilangan bulat
terbesar d sedemikian sehingga d a dan d b. Dalam hal ini kita nyatakan bahwa
GCD (a,b) = d.

*Teorema Algoritma Pembagi
Diberikan bilangan bulat tidak negatif a dan b dengan a > b > 0 maka
GCD (a,b) dapat dicari dengan mengulang algoritma pembagi.
a = q1 – b+r, dengan 0 < r1 < b
b = q2 – r1+r2, dengan 0 < r2 < r1
r1 = q3 . r2+r3, dengan 0 < r3 < r2
rn-2 = qn . rn-1+rn, dengan 0 < rn < rn-1
rn-1 = qn+1 . rn+0
Maka rn sisa terakhir dari pembagian diatas yang bukan 0 (nol) merupakan
GCD (a,b). Contoh :
1) GCD (80,12) : 80 > 12 > 0
80 = 6 × 12 + 8
12 = 1 × 8 + 4
8 = 2 × 4 + 0
GCD = 4
2) GCD (4.840, 1.512) : 4.840 > 1.512 > 0
4.840 = 3 × 1.512 + 304
1.512 = 4 × 304 + 296
304 = 1 × 296 + 8
296 = 37 × 8 + 0
GCD = 8

Relatif Prima
Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika GCD (a,b) =
1. Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian
sehingga
 m x a + n x b = 1
Contoh :
1) GCD (20, 3) : 20 = 6 × 3 + 2
3 = 1 × 2 + 1
2 = 2 × 1 + 0
GCD = 1
2 × 20 + (-13) × 3 = 1
m = 2 n = -13
Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena GCD (20,3) = 1.
2) GCD (5, 11) : 11 = 2 × 5 + 1
5 = 5 × 1 + 0
GCD = 1
-2 × 5 + 1 × 11 = 1
m = -2 n = 1
Bilangan 5 dan 11 adalah relatif prima karena GCD (5,11) = 1.

SUMBER : BU WINDIA HADI M.Pd

DOSEN : UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

MATAKULIAH : TEORI BILANGAN

CONTOH SOAL DAN JAWABAN EKSPONEN DAN LOGARTIMA

Hallo gimana kabarnya? Semoga baik baik saja. Nah pada kesempatan kali ini saya akan membagikan contoh soal + jawaban tentang EKSPONEN dan Logartima.

Nah contoh soal di atas, dapat dilihat dari MINI BOOK MASTER MATEMATIKA PENERBIT DARI WAHYUMEDIA. KALIAN BISA MEMBELINYA DI GRAMEDIA DAN TOKO BUKU LAINNYA

BANGUN RUANG SISI DATAR

Nah ini adalah materi kelas 7, jika kalian merasa belum paham bisa langsung berkomentar atau kalian bisa mengubungi saya via email yang sudah tertera di blog ini. Terimakasih sudah mampir di blog anis:) 

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL (KALIMAT TERBUKA DAN TERTUTUP)

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

A. KALIMAT TERLUKA DAN KALIMAT TERTUTUP

   1. Kalimat Tertutup
Kalimat tertutup adalah kalimat berita (deklaratif) yang dapat dinyatakan nilai kebenarannya, bernilai benar atau salah saja, tetapi sekaligus bernilai benar dan salah. Kalimat tertutup sering disebut pernyataan.
a. Kalimat tertutup yang bernilai benar adalah kalimat yang menyatakan hal-hal sesuai dengan kenyataan / keadaan yang berlaku umum.
Contoh :
1. 2 adalah bilangan genap.
2. 4 + 3 > 6.
3. Kuda termasuk hewan herbivora.
b. Kalimat tertutup yang bernilai salah adalah kalimat yang menyatakan hal-hal tidak sesuai dengan kenyataan / keadaan yang berlaku umum.
Contoh :
1. Indonesia termasuk negara di Asia Timur.
2. 6 + 4 = 12.
3. 7 - 8 > 0.

     2. Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Suatu kalimat matematika yang masih memuat variabel (peubah) merupakan kalimat terbuka karna nilai kebenarannya belum dapat ditentukan.
Contoh :
a. 2 + 3a = 10 adalah kalimat terbuka dengan variabel a.
b. 3p + 4 = 12 adalah kalimat terbuka dengan variabel p.
c. "Tiga dikurangi m sama dengan satu" adalah kumat terbuka dengan variabel m.
d. "Anak itu bersekolah di SMPN I Yogyakarta" adalah kalimat terbuka dengan variabel anak itu.
     Pada kalimat terbuka 2 + 3a = 10, huruf a disebut variabel, bilangan 2 dan 10 disebut kostanta, dan bilangan 3 disebut koefisien variabel a. Variabel adalah simbol pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya secara jelas. Variabel biasanya disimbolkan dengan huruf kecil a, b, c, d, ... , z. Kostanta adalah bilangan tetap (tertentu) yang terdapat pada kalimat terbuka. Koefisien adalah bilangan yang menyertai variabel.

HIMPUNAN

MATERI HIMPUNAN
1. Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas,
sehinggadengan tepat dapat diketahuiobjek yang termasuk himpunan dan yang tidak
termasuk dalam himpunan tersebut.
Contoh Himpunan
 Kumpulan kabupaten yang ada di provinsi Yogyakarta
 Kumpulan nama siswa kelas VII C yang diawali huruf K
2. Jenis-jenis Himpunan
a. Himpunan kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota
Contoh : Himpunan buah yang rasanya asin
b. Himpunan tak kosong
Himpunan tak kosong adalah himpunan yang memiliki anggota
Contoh : Himpunan bilangan prima kurang dari 10
3. Pengertian Himpunan Semesta
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunanyang memuat semua
anggota atau objek himpunan yang dibicarakan.Himpunan semesta (semesta
pembicaraan) biasanya dilambangkan dengan S.
Contoh Himpunan Semesta
Misalkan A = {2, 3, 5, 7}, maka himpunan semestayang mungkin dari himpunan A
adalah sebagai berikut,
 S = {bilangan prima} atau
 S = {bilangan asli} atau
 S = {bilangan cacah}.
Himpunan semesta yang mungkin dari {kerbau, sapi, kambing} adalah {binatang},
{binatang berkakiempat}, atau {binatang memamah biak}
4. Pengertian Diagram Venn
Diagram venn adalah suatu cara menyatakan himpunan dengan menggunaan gambar.
Diagram venn dapat diartikan sebagai sebuah diagram yang didalamnya terdapat seluruh
kemungkinan benda ataupun objek.
Dalam diagram Venn, himpunan semesta dinyatakan dengandaerah persegi panjang,
sedangkan himpunan lain dalam semestapembicaraan dinyatakan dengan kurva mulus
tertutup sederhana dan noktah-noktah untuk menyatakan anggotanya.
Contoh diagram venn
Diketahui
S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9};
P = {0, 1, 2, 3, 4}; dan Q = {5, 6, 7}.
Himpunan S = {0, 1, 2, , 4, ..., 9}
adalah himpunan semesta. Dalam
diagram Venn, himpunan semesta
dinotasikan dengan S berada di pojok
kiri.
5. Notasi dan Anggota Himpunan
Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar
(kapital)A,B,C, ...,Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpuna tersebut
ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.
Contoh:
 A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6, sehingga A ={0,1,2,3,4,5}.
 P adalah himpunan huruf-huruf vokal, sehingga P={a,i,u,e,o}.
6. Menyatakan Suatu Himpunan
Dapat dinyatakan dengan 3 cara:
a. Dengan kata-kata
Contoh:
 P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40. Ditulis
 P={bilangan prima antara 10 dan 40}.
b. Dengan notasi pembentuk himpunan
Contoh:
 P adalh himpunan biangan prima antar bilangan 10 dan 40. Ditulis
 P={10<x<40, x ∈ bilangan prima}.
c. Dengan mendaftar anggota-anggotanya
Contoh:
 P adalh himpunan bilangan prima antar 10 dan 40. Ditulis
 P= {11,13,17,19,23,29,31,37}
7. Himpunan Bagian
Himpunan A merupakan himpunan bagian B jika setiap anggota A menjadi anggota B
dengan menotasikan A⊂B atau B⊃A.
Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B jika terdapat anggota A yang
bukan anggota B dan dinotasikan A⊄B.
Setiap himpuna A merupakan himpunan bagian dari himpunan A sendiri, ditulis
A⊂A.
contoh:
Diketahui K={1,2,3}, tentukan himpunan bagian dari K yang mempunya
a. Satu anggota
b. Dua anggota
c. Tiga anggota
Dijawab:
a. Himpunan bagian K yang mempunyai 1 anggota adalah {1},{2},{3}
b. Himpunan bagian K yang mempunyai 2 anggota adalah {1,2},{1,3},{2,3}
c. Himpunan bagian K yang mempunyai 3 anggota adalah {1,2,3}
8. Menentukan Banyaknya Himpunan Bagian dari Suatu Himpunan
Banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2¬¬n, dengan n banyaknya
anggota himpunan tersebut. Banyaknya himpunan bagian adalah himpunan kuasa.
Contoh:
 Himpunan bagian dari {a,b,c,d} yang mempunyai 0 anggota ada 1, yaitu { };
 1 anggota ada 4, yaitu {a},{b},{c},{d};
 2 anggota ada 6, yaitu {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d};
 3 anggota da 4, yaitu {a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d};
 4 anggota ada 1, yaitu {a,b,c,d};