BALIKAN MODULO (INVERS)

Balikan Modulo (Invers)
Jika a dan m relatif prima dan m > 1, maka kita dapat menemukan balikan
(invers) dari a modulo m. Balikan dari a modulo m adalah bilangan bulat a
sedemikian sehingga

Bukti:
Dari definisi relatif prima diketahui bahwa GCD (a,m) = 1, dan menurut
persamaan (2) terdapat bilangan bulat p dan q sedemikian sehingga
pa + qm = 1
yang mengimplikasikan bahwa
pa + qm = 1
Karena qm ≡ 0 (mod m) , maka
pa ≡ 1 (mod m)
Kekongruenan yang terakhir ini berarti bahwa p adalah balikan dari a modulo m.
Pembuktian di atas juga menceritakan bahwa untuk mencari balikan dari a
modulo m, kita harus membuat kombinasi lanjar dari a dan m sama dengan 1.
Koefisien a dari kombinasi lanjar tersebut merupakan balikan dari a modulo m.
Contoh :
Tentukan balikan modulo dari 4 (mod 9), dan 17 (mod 7)
1) 4 (mod 9)
o GCD (4, 9) => 9 = 1 . 4 + 5
4 = 1 . 4 + 1
4 = 4 . 1 + 0
GCD = 1
o p . 4 + q . 9 = 1
(-2) . 4 + 1 . 9 = 1
-2 . 4 ≡ 1 (mod 9)
-8 ≡ 1 (mod 9)
o -2 adalah balikan 4 modulo 9
2) 17 (mod 7)
o GCD (17, 7) => 17 = 2 . 7 + 3
7 = 2 . 3 + 1
3 = 3 . 1 + 0
GCD = 1
o p . 17 + q . 7 = 1
(-2) . 17 + 5 . 7 = 1
-2 . 7 1 (mod 7)
-14 1 (mod 7)
o -2 adalah balikan 17 modulo 7

SUMBER : BU WINDIA HADI 

DOSEN : UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA 

MATAKULIAH : TEORI BILANGAN 

SOAL DAN PEMBAHASAN KONGRUENSI

SOAL DAN PEMBAHASAN KONGRUENSI

SUMBER : BU WINDIA HADI M. Pd
DOSEN : UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA
MATAKULIAH : TEORI BILANGAN


Itu lah soal soal kongruensi, gampang kan? Jika ada yang belum paham bisa langsung komentar dibawah atau hubungi saya via email.

KONGRUENSI

Kongruensi
Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan > 0, maka a
≡ b (mod m) jika m habis membagi a – b. Jika a tidak kongruen dengan b dalam
modulus m, maka ditulis a b (mod m). Misalnya 38 mod 5 = 3 dan 13 mod 5 =
3, maka kita katakan 38 ≡ 13 (mod 5) (baca: 38 kongruen dengan 13 dalam
modulo 5). Contoh :
1) 17 ≡ 2 (mod 3) ( 3 habis membagi 17 – 2 = 15)
2) –7 ≡ 15 (mod 11) (11 habis membagi –7 – 15 = –22)
3) 12 2 (mod 7) (7 tidak habis membagi 12 – 2 = 10 )
4) –7 15 (mod 3) (3 tidak habis membagi –7 – 15 = –22)
 Teorema 4
Misalkan a, b, c, d, x dan y melambangkan bilangan bulat, maka
1) a ≡ b (mod m), b ≡ a (mod m), dan a-b ≡ 0 (mod m) adalah pernyataan
yang setara
2) Jika a ≡ b (mod m) dan b ≡ c (mod m) maka a ≡ c (mod m)
3) Jika a ≡ b (mod m) dan d membagi habis m maka a ≡ b (mod d)
4) Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) maka ax + cy = bx + dy (mod
m)
 Teorema 2
Misalkan m adalah bilangan bulat positif.
1) Jika a ≡ b (mod m) dan c adalah sembarang bilangan bulat maka
(i) (a + c) ≡ (b + c) (mod m)
(ii) ac ≡ bc (mod m)
(iii) ap ≡ bp (mod m) untuk suatu bilangan bulat tak negatif p.
2) Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m), maka
(i) (a + c) ≡ (b + d) (mod m)
(ii) ac ≡ bd (mod m)
Contoh :
1) 27 mod 3 = 3 . 9 + 0 = 0
2) 6 mod 8 = 8 . 0 + 6 = 6
3) 0 mod 12 = 12 .1 + 0 = 0
4) -41 mod 9 = 9 . (-5) + 4 = 4
5) 17 mod 3 = 3 . 5 + 2 = 2
6) 10 mod 3 = 3 . 3 + 1 = 1
7) 14 mod 6 = 6 . 2 + 2 = 2
8) 32 mod 3 = 3 . 10 + 3 = 3
17 mod 3 kongruensi dengan 14 mod 6 maka 17 ≡ 32 (mod 3). Misalkan c =
2, maka
i. (a + c) ≡ (b + c)
o 29 mod 3 = 3 . 9 + 2 = 2
o 2 mod 12 = 12 . 0 + 2 = 2
ii. a x c = b x c
o 27 . 2 mod 3 = 54 mod 3 = 3 . 18 + 0 = 0
o 0 . 2 mod 12 = 0 mod 12 = 12 . 1 + 0 = 0
iii. ac ≡ bc
o 27² mod 3 = 729 mod 3 = 3 . 243 + 0 = 0
o 0² mod 12 = 0 mod 12 = 12 . 1 + 0 = 0

*Aritmetika Modulo
Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m (dibaca “a modulo m”) memberikan sisa jika a dibagi dengan m.
Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga.
a = mq + r dengan 0 < r < m.
Bilangan m disebut modulus atau modulo.
Proposisi 5.2 :
a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika a = b + km untuk bilangan bulat k .
Bukti :
a ≡ b (mod m) jika hanya jika a -  b adalah kelipatan dari m. ini berarti a -  b = km untuk bilangan bulat k, atau setara dengan a = b + km.
Proposisi 5. 2
Jika a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif. Ketika ada
bilangan bulat unik r dengan 0 < r < m - 1 maka jadi a ≡ r (mod m). Bilangan bulat ini disebut residu paling tidak negatif dari mod m.
Proposisi 5.4 :
Jika a, b, c dan m adalah bilangan bulat dengan m > 0 maka :
a. a ≡ a (mod m)
b. Jika a = b (mod m) maka b = a (mod m)
c. Jika a = b (mod m) dan b = c (mod m), maka a = c (mod m).
Bukti :
a. Karena a = a + 0 x m, proposisi 5.2 mengatakan bahwa a ≡ a (mod m)
b. Jika a ≡ b (mod m), maka a = b + km, untuk berapa k. Untuk itu b = a + (-k)m, jadi b ≡ a (mod m)

SUMBER : BU WINDIA HADI M. Pd

DOSEN : UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA 

MATAKULIAH : TEORI BILANGAN 

KEKONGRUENAN LANJAR

SOAL DAN PEMBAHASAN PERSAMAAN DIOPHANTINE

1. Tentukan penyelesaian umum persamaan Diophantine 12x + 8y = 40!
*12 = 1×8 + 4
8 = 2×4 + 0
GCD = 4
*4 l 40 = 10
Artinya dapat dicari x dan y
*4 = 1×12 – (1×8) (dikali 10)
40 10×12 – 10×8
Xo = 10 Yo = -10
*Persamaan Diophantine
X = 10 + 2k
Y = - 10 - 3k
2. Tentukan penyelesaian umum persamaan Diophantine 75x + 20y = 300!
*75 = 3×20 + 15
20 = 1×15 + 5
15 = 3×5 + 0
GCD = 5
*5 l 300 = 60
Artinya dapat dicari x dan y
*5 = 20 – (1×15)
5 = 20 – 1 (75 - 3×20)
5 = 20 – 1×75 + 3×20
5 = -1×75 + 4×20 (dikali 30)
Xo = -1 Yo = 4
*Persamaan Diophantine
X = - 1 + 4k
Y = 4 -  15k
3. Tentukan penyelesaian umum persamaan Diophantine 140x + 50y = 200!
*140 = 2×50 + 40
50 = 1×40 + 10
40 = 4×10 + 0
GCD = 10
*10 l 220 = 22
Artinya dapat dicari x dan y
*10 = 50 – (1×40)
10 = 50 – 1 (140 – 2×50)
10 = 50 – 1×140 + 2×50
10 = -1×140 + 3×50 (dikali 22)
220 = -22×140 + 66×50
Xo = -22 Yo = 66
*Persamaan Diophantine
X = - 22 + 5k
Y = 66 - 14k
4. Tentukan penyelesaian umum persamaan Diophantine 12x + 8y = 40!
*12 = 1×8 + 4
8 = 2×4 + 0
GCD = 4
*4 l 40 = 10
Artinya bisa didapat x dan y
*4 = 1×12 – (1×8) (dikali 10)
40 = 10×12 – 10×8
Xo = 10 Yo= -10
*Persamaan Diophantine
X = 10 + 2k
Y = - 10 - 3k
5. Tentukan penyelesaian umum persamaan Diophantine 12x + 5y = 19!
*12 = 2×5 + 2
5 = 2×2 + 1
2 = 2×1 + 0
GCD = 1
*1 l 19 = 19
Artinya dapat dicari x dan y
*1 = 5 – (2×2)
1 = 5 – 2 (12 – 2×5)
1 = 5 – 2×12 + 4×5
1 = -2×12 + 5×5 (dikali 19)
19 = -38×12 + 95×5
Xo = -38 Yo = 95
*Persamaan Diophantine
X = - 38 + 5k
Y = 95 - 12k

SUMBER : BU WINDIA HADI M.Pd
DOSEN : UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA
MATAKULIAH : TEORI BILANGAN 

PERSAMAAN DIOPHANTINE

Persamaan Diophantine
Diophantus tinggal di Alexandria, Mesir, sekitar 1800 tahun yang lalu.
Bukunya yang berjudul Arithmetica memberikan metode untuk menyelesaikan
berbagai persamaan aljabar dan memiliki pengaruh besar pada pengembangan
teori aljabar dan bilangan selama bertahun-tahun. Bagian dari teori bilangan yang
disebut persamaan Diophantine, dinamakan persamaan Diophantine karena untuk
menghormati dirinya.
Teorema :
Persamaan linear Diophantine ax + by = c mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika (a, b) l c. Bukti :
Misalkan (a, b) = d dan d l c
d l c⇔ ada sehingga c = kd
d l (a, b) ⇔ ada m dan n sehingga am + bm = d
 ⇔ a (km) = b (kn) = kd
 ⇔ a (km) + b (kn) = c
Diperoleh x = m k dan y = n k
Teorema 2.1 :
Persamaan Diophantine merupakan suatu persamaan berbentuk ax + by =
c dengan a, b, c merupakan bilangan bulat dan a, b bukan 0 (nol). Dimana k
adalah bilangan bulat dan GCD (a,b) = d. Jika penyelesaian dicari untuk bilangan
bulat. Maka penyelesaiannya adalah

Contoh :
Tentukan penyelesaian umum persamaan Diophantine 738x + 621y = 45 !
o 738 = 1 × 621 + 117
621 = 5 × 117 + 36
117 = 3 × 36 + 9
36 = 4 × 9 + 0
GCD = 9
o 9 l 45 = 5
Artinya dapat dicari x dan y
o Mencari Xo dan Yo
9 = 117 – (3×36)
9 = 117 – 3 (621 – 5×117)
9 = 117 – 3×621 + 15×117
9 = -3×621 + 16×117
9 = -3×621 + 16 (738 – 1×621)
9 = -3×621 + 16×738 – 16×621
9 = 16×738 – 19×621 (dikali 5)
45 = 80×738 – 95×621
Xo = 80 Yo = -95
o Persamaan Diophantine
X = - 80 + 69k
Y = - 95 - 82k

SUMBER : BU WINDIA HADI M.Pd

DOSEN : UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

MATAKULIAH : TEORI BILANGAN

SOAL DAN PEMBAHASAN TEORI KETERBAGIAN

SOAL DAN PEMBAHASAN
1. 4 l 16 dan 16 l 32 maka?
*4 l 32 = 8
2. 5 l 30 dan 5 l 40 maka?
*5 l 30+40 = 5 l 70 = 13 (bilangan bulat)
*5 l 30−40 = 5 l −10 = −2 (bilangan bulat)
*5 l 30×40 = 5 l 1200 = 240 (bilangan bulat)
3. 837950419236 apakah habis dibagi oleh 2, 4, 8, 16?
*Dibagi 2 : 2 l 6 = 3 (bilangan bulat)
*Dibagi 4 : 4 l 36 = 9 (bilangan bulat)
*Dibagi 8 : 8 l 236 = 29,.. (desimal)
*Dibagi 16 : 16 l 9236 = 577,... (desimal)
4. Apakah bilangan 926810 habis dibagi oleh 5, 7, 13, 17?
*Dibagi 5 : 926810 = 0 (bilangan bulat)
*Dibagi 7 : 92681 – 0(2) = 92681
9268 – 1(2) = 9266
926 – 6(2) = 914
91 – 4(2) = 83
7 l 83 = 11,... (desimal)
*Dibagi 13 : 92681 – 0(9) = 92681
9268 − 1(9) = 9259
925 – 9(9) = 844
84 – 4(9) = 48
13 l 48 = 3,... (desimal)
*Dibagi 17 : 92681 – 0(5) = 92681
9268 – 1(5) = 9263
926 – 3(5) = 911
91 – 1(5) = 86
17 l 86 = 5,.. (desimal)
*Dibagi 19 : 92681 + 0(2) = 92681
9268(2) = 9270
927 + 0(2) = 927
92 + 7(2) = 106
10 + 6(2) = 22
19 l 22 = 1,... (desimal)
5. Apakah hasil dari 16 4 adalah bilangan bulat?
*16 l 40= 0,25 (desimal ≠ bilangan bulat)
6. 3 l 9 dan 9 l 81 maka?
*3 l 81 = 27 (bilangan bulat)
7. Apakah bilangan 96574362 akan habis jika dibagi dengan 2, 4, 8,
16?
*Dibagi 2 : 2 l 2 = 1 (bilangan bulat)
*Dibagi 4 : 4 l 62 = 15,... (desimal)
*Dibagi 8 : 8 l 362 = 45,...(desimal)
*Dibagi 16 : 16 l 4362 = 272,... (desimal)
8. Apakah bilangan 695 akan habis dibagi 17?
*69 – 5(5) = 44
17 l 44 = 6,.. (desimal)
9. Apakah 8891882748 habis dibagi 19 dan 17?
*Dibagi 19 : 889188274 + 8(2) = 889188290
88918829 + 0(2) = 88918829
8891882 + 9(2) = 8891900
889190 + 0(2) = 889190
88919 + 0(2) = 88919
8891 + 9(2) = 8909
890 + 9(2) = 908
90 + 8(2) = 106
10 + 6(2) = 22
19 l 22 = 1,... (desimal)
*Dibagi 17 : 889188274 – 8(5) = 889188234
88918823 – 4(5) = 88918803
8891880 – 3(5) = 889161
88916 – 1(5) = 8886
888 – 6(5) = 858
85 – 8(5) = 45
17 l 45 = 2,... (desimal)
10. 90000001927 akan habis dibagi 16 atau 19?
*Dibagi 16 : 16 l 1927 = 120,... (desimal)
*Dibagi 19 : 9000000192 + 7(2) = 9000000206
900000020 + 6(2) = 900000032
90000003 + 2(2) = 90000007
9000000 + 7(2) = 9000014
900001 + 4(2) = 900009
90000 + 9(2) = 90018
9001 + 8(2) = 9017
901 + 7(2) = 915
91 + 5(2) = 101
19 l 101 = 5,.. (desimal)

SUMBER : BU WINDIA HADI M.Pd

DOSEN : UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

MATAKULIAH : TEORI BILANGAN

TEORI KETERBAGIAN

TEORI KETERBAGIAN

A. Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat
1. Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat a ≠ 0.
Kita menyatakan bahwa a habis membagi b (a divides b) jika terdapat
bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.
2. Notasi: a | b jika b = ac, c ∈ Z dan a ≠ 0. (Z = himpunan bilangan
bulat) Kadang-kadang pernyataan “a habis membagi b“ ditulis juga
“b kelipatan a”. Contoh : 4 | 12 karena 12 ÷ 4 = 3 (bilangan bulat) atau
12 = 4 × 3. Tetapi 4 | 13 karena 13 ÷ 4 = 3.25 (bukan bilangan bulat).

B. Algoritma Pembagian
Jika a dan b adalah bilangan bulat, ketika kita membagi a dan b
kita mendapatkan bilangan bulat jika dan hanya jika b a. misalnya, kita
dapat mengatakan bahwa 14 dibagi dengan 4 dengan sisa 2. Kita dapat
menulis ini sebagai 14 = 3×4 + 2. Maka ketika a dan b merupakan
bilangan bulat jika b > 0 maka ada bilangan bulat unik q ( hasil bagi) dan r
(sisanya) sehingga

 Contoh :

1. Keitka a = 27, b = 7. Maka 27 = 7 . 3 + 6, jadi q = 3 dan r = 6
2. Ketika a = 24, b = 8. Maka 24 = 8 . 3, jadi q = 3 dan r = 0
3. Ketika a = -27, b = 7. Maka -27 = 7 . (-4) + 1, jadi q = -4 dan r = 1
4. Ketika a = 0 dan b = 5. Maka 0 = 5 . 0 + 0, jadi q = 0 dan r = 0

C. Sifat Keterbagian :
1. a l a (sifat reflektif)
2. a l b dan b l c maka a l c (sifat transitif)
3. a l b maka a l m . b untuk ∈ m ∈ z
4. a l b dan a l c maka a l b+c, a l b-c, a l b.c
5. ab l c maka b l c dan a l c
6. a l b dan a l c maka [(bx + by)] untuk z ∈ x, y
Contoh :
1) 2 l 2 = 1
2) 2 l 6 dan 6 l 8 maka 2 l 8 = 4 (bilangan bulat)
3) 2 l 6 maka 2 l 1 . 6 = 3 (bilangan bulat)
2 l 0 . 6 = 0 (bilangan bulat)
2 l -1 . 6 = -3 (bilangan bulat)
4) 3 l 9 dan 3 l 27 maka 3 l 9 + 27 = 12 (bilangan bulat)
3 l 9 – 27 = -6 (bilangan bulat)
3 l 9 . 27 = 0 (bilangan bulat)
5) 6 l 18, faktor dari adalah 2 dan 3. Maka 2 l 18 dan 3 l 18.
2 l 18 = 9 (bilangan bulat) dan 3 l 18 = 6 (bilangan bulat)

D. Keterbagian oleh 2n
Suatu bilangan habis dibagi oleh 2n
. jika n digit terakhir bilangan
tersebut habis dibagi oleh 2n
.
1. Suatu bilangan habis dibagi 2n
. Jika digit terakhir itu habis dibagi
2.
2. Suatu bilangan habis dibagi 4 atau 22
. Jika 2 digit terakhir itu habis
dibagi 4. Dan seterusnya.
Contoh :
Apakah 927683792562 habis dibagi oleh 2, 4, 8, dan 16?
1) Dibagi 2 : 2 2 = 1 (bilangan bulat)
2) Dibagi 4 : 4 62 = 15,5 (bilangan desimal)
3) Dibagi 8 : 8 562 = 70,2 (bilangan desimal)
4) Dibagi 16 : 16 2562 = 160,1 (bilangan desimal)

E. Keterbagian oleh 3, 9, dan 11
Misalkan bilangan a = an, an-1, …, a, a0
1. Bilangan a habis dibagi 3 atau 9. Jika jumlah angkanya habis
dibagi oleh 3 atau 9 (an + an-1 + an-2 … - a1 + a0)
2. Bilangan a habis dibagi 11. Jika jumlah silang tanda ganti angka-angkanya
habis dibagi 11 (an - an-1 + an-2 … - a1 + a0)
Contoh :
Apakah 927683792562 habis dibagi oleh 3, 9, 11
1) 9+2+7+6+8+3+7+9+2+5+6+2 = 66
Dibagi 3 : 3 66 = 22 (bilangan bulat)
Dibagi 9 : 9 66 = 7,3 (bilangan desimal)
2) 9-2+7-6+8-3+7-9+2-5+6-2 = 12
Dibagi 11 : 11 12 = 1,09 (bilangan desimal)

F. Keterbagian oleh 5, 7, 13, 17, 19
1. Suatu bilangan habis dibagi 5. Jika bilang tersebut berakhir 0 atau 5.
2. Suatu bilangan habis dibagi 7. Jika bilangan bagian satuannya
dikalikan oleh 2, kemudian dikurangi dari bilangan sebelumnya.
3. Suatu bilangan habis dibagi 13. Jika bilangan bagian satuannya
dikalikan oleh 9 dan dikurangi dari bilangan sebelumnya.
4. Suatu bilangan habis dibagi 17. Jika bilangan bagian satuannya
dikalikan oleh 5 dan dikurangi dari bilangan sebelumnya.
5. Suatu bilangan habis dibagi 19. Jika bilangan bagian satuannya
dikalikan oleh 2 dan ditambah dengan bilangan sebelumnya.
Contoh :
Apakah bilangan 993740 habis dibagi 5, 7, 13, 17 dan 19?
1. Dibagi 5 : memiliki bilangan akhir 0 (bilangan bulat)
2. Dibagi 7 : 99374 – 0(2) = 99374
9937 – 4(2) = 9929
992 – 9(2) = 974
97 – 4(2) = 89
7 l 89 = 12,7 (bilangan desimal)
3. Dibagi 13 : 99374 – 0(9) = 99374
9937 – 4(9) = 9901
990 – 1(9) = 981
98 – 1(9) = 89
13 l 89 = 6,8 (bilangan desimal)
4. Dibagi 17 : 99374 – 0(5) = 99374
9937 – 4(5) = 9917
991 – 7(5) = 956
95 – 6(5) = 65
17 l 65 =3,8 (bilangan desimal)
5. Dibagi 19 : 99374 + 0(2) = 99374
9937 + 4(2) = 9945
994 + 5(2) = 1004
100 + 4(2) = 108
10 + 8(2) = 26
19 l 26 = 1,3 (bilangan desimal)

SUMBER : BU WINDIA HADI M.Pd

DOSEN : UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

MATAKULIAH : TEORI BILANGAN

SOAL DAN PEMBAHASAN GREATEST COMMON DIVISOR (GCD)

Soal GCD
1. Tentukan GCD dari ( 156, 65 )
Jawab :
GCD dari ( 156, 65 )
156 = 2 X 65 + 26
65 = 2 X 26 + 13
26 = 2 X 13 + 0
GCD ( 156, 65 ) = 13
2. Tentukan GCD dari ( 1258, 2000 )
Jawab :
GCD dari ( 1258, 2000 )
2000 = 1 X 1258 + 742
1258 = 1 X 742 + 516
742 = 1 X 516 + 226
516 = 2 X 226 + 64
226 = 3 X 64 + 34
64 = 1 X 34 + 30
34 = 1 X 30 + 4
30 = 7 X 4 + 2
4 = 2 X 2 + 0
GCD ( 1258, 2000 ) = 2
3. Tentukan GCD dari ( 2158, 500 )
Jawab :
GCD dari ( 2158, 500 )
2158 = 4 X 500 + 158
500 = 3 X 158 + 26
158 = 6 X 26 + 2
26 = 13 X 2 + 0
GCD ( 2158, 500 ) = 2
4. Tentukan GCD dari ( 100, 250 )
Jawab :
GCD dari ( 100, 250 )
250 = 2 X 100 + 50
100 = 2 X 50 + 0
GCD ( 100, 250 ) = 50
5. Tentukan GCD dari ( 550, 2 )
Jawab :
GCD dari ( 550, 2 )
550 = 275 X 2 + 0
GCD ( 550, 2 ) = 2
6. Tentukan GCD dari ( 70, 8 )
Jawab :
GCD dari ( 70, 8 )
70 = 8 X 8 + 6
8 = 1 X 6 + 2
6 = 3 X 2 + 0
GCD  ( 70, 8 ) = 2
7. Tentukan GCD dari ( 22, 5 )
Jawab :
GCD dari ( 22, 5 )
22 = 4 X 5 + 2
5 = 2 X 2 + 1
2 = 2 X 1 + 0
GCD ( 22, 5 ) = 1
8. Tentukan GCD dari ( 95, 60 )
Jawab :
GCD dari ( 95, 60 )
95 = 1 x 60 + 35
60 = 1 x 35 + 25
35 = 1 x 25 + 10
25 = 2 x 10 + 5
10 = 2 x 5 + 0
GCD ( 95, 60 ) = 5
9. Tentukan GCD dari ( 15, 3 )
Jawab :
GCD dari ( 15, 3 )
15 = 5 X 3 + 0
GCD ( 15, 3 ) = 3
10. Tentukan GCD dari ( 75, 20 )
Jawab :
GCD dari ( 75, 20 )
75 = 3 X 20 + 15
20 = 1 X 15 + 5
15 = 3 X 5 + 0
GCD ( 75, 20 ) = 5
11. Tentukan GCD dari ( 25, 10)
Jawab :
GCD dari ( 25, 10,)
25 = 2 X 10 + 5
10 = 2 X 5 + 0
GCD ( 25, 10 ) = 5
12. Tentukan GCD dari ( 755, 10 )
Jawab :
GCD dari ( 755, 10 )
755 = 75 X 10 + 5
10 = 2 X 5 + 0
GCD ( 755, 10 ) = 5
13. Tentukan GCD dari ( 50, 25 )
Jawab :
GCD dari ( 50, 25 )
50 = 2 X 25 + 0
GCD ( 50, 25 ) = 25
14. Tentukan GCD dari ( 90, 20 )
Jawab :
GCD dari ( 90, 20 )
90 = 4 X 20 + 10
20 = 2 X 10 + 0
GCD ( 90, 20 ) = 10
15. Tentukan GCD dari ( 85, 7 )
Jawab :
GCD dari ( 85, 7 )
85 = 12 X 7 + 1
7 = 7 X 1 + 0
GCD ( 85, 7 ) = 1
16. Tentukan GCD dari ( 19, 2 )
Jawab :
GCD dari ( 19, 2 )
19 = 9 X 2 + 1
2 = 2 X 1 + 0
GCD ( 19, 2 ) = 1
17. Tentukan GCD dari ( 1700, 200 )
Jawab :
GCD dari ( 1700, 200 )
1700 = 8 X 200 + 100
200 = 2 X 100 + 0
GCD ( 1700, 200 ) = 100
18. Tentukan GCD dari ( 220, 15 )
Jawab :
GCD dari ( 220, 15 )
220 = 14 X 15 + 10
15 = 1 X 10 + 5
10 = 2 X 5 + 0
GCD ( 220, 15 ) = 5
19. Tentukan GCD dari ( 350, 30 )
Jawab :
GCD dari ( 350, 30 )
350 = 11 X 30 + 20
30 = 1 X 20 + 10
20 = 2 X 10 + 0
GCD ( 350, 30 ) = 10
20. Tentukan GCD dari ( 40, 10 )
Jawab :
GCD dari ( 40, 10 )
40 = 4 X 10 + 0
GCD ( 40, 10 ) = 10

SUMBER : BU WINDIA HADI M.Pd

DOSEN : UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

MATAKULIAH : TEORI BILANGAN

GREATEST COMMON DIVISOR (GCD)

Greatest Common Divisor (GCD)
Pembagi dari 12 adalah 1, 2,3,4,6, dan 12. Pembagi dari 18 adalah 1, 2, 3,
6, 9 dan 18. Maka (1,2,3,6) adalah himpunan pembagi umum dari 12 dan 18.
Asumsikan bahwa a dan b adalah dua buah bilangan bulat tidak 0. Pembagi
bersama terbesar (Greatest Common Divisor) dari a dan b adalah bilangan bulat
terbesar d sedemikian sehingga d a dan d b. Dalam hal ini kita nyatakan bahwa
GCD (a,b) = d.

*Teorema Algoritma Pembagi
Diberikan bilangan bulat tidak negatif a dan b dengan a > b > 0 maka
GCD (a,b) dapat dicari dengan mengulang algoritma pembagi.
a = q1 – b+r, dengan 0 < r1 < b
b = q2 – r1+r2, dengan 0 < r2 < r1
r1 = q3 . r2+r3, dengan 0 < r3 < r2
rn-2 = qn . rn-1+rn, dengan 0 < rn < rn-1
rn-1 = qn+1 . rn+0
Maka rn sisa terakhir dari pembagian diatas yang bukan 0 (nol) merupakan
GCD (a,b). Contoh :
1) GCD (80,12) : 80 > 12 > 0
80 = 6 × 12 + 8
12 = 1 × 8 + 4
8 = 2 × 4 + 0
GCD = 4
2) GCD (4.840, 1.512) : 4.840 > 1.512 > 0
4.840 = 3 × 1.512 + 304
1.512 = 4 × 304 + 296
304 = 1 × 296 + 8
296 = 37 × 8 + 0
GCD = 8

Relatif Prima
Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika GCD (a,b) =
1. Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian
sehingga
 m x a + n x b = 1
Contoh :
1) GCD (20, 3) : 20 = 6 × 3 + 2
3 = 1 × 2 + 1
2 = 2 × 1 + 0
GCD = 1
2 × 20 + (-13) × 3 = 1
m = 2 n = -13
Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena GCD (20,3) = 1.
2) GCD (5, 11) : 11 = 2 × 5 + 1
5 = 5 × 1 + 0
GCD = 1
-2 × 5 + 1 × 11 = 1
m = -2 n = 1
Bilangan 5 dan 11 adalah relatif prima karena GCD (5,11) = 1.

SUMBER : BU WINDIA HADI M.Pd

DOSEN : UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

MATAKULIAH : TEORI BILANGAN

CONTOH SOAL DAN JAWABAN EKSPONEN DAN LOGARTIMA

Hallo gimana kabarnya? Semoga baik baik saja. Nah pada kesempatan kali ini saya akan membagikan contoh soal + jawaban tentang EKSPONEN dan Logartima.

Nah contoh soal di atas, dapat dilihat dari MINI BOOK MASTER MATEMATIKA PENERBIT DARI WAHYUMEDIA. KALIAN BISA MEMBELINYA DI GRAMEDIA DAN TOKO BUKU LAINNYA

BANGUN RUANG SISI DATAR

Nah ini adalah materi kelas 7, jika kalian merasa belum paham bisa langsung berkomentar atau kalian bisa mengubungi saya via email yang sudah tertera di blog ini. Terimakasih sudah mampir di blog anis:) 

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL (KALIMAT TERBUKA DAN TERTUTUP)

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

A. KALIMAT TERLUKA DAN KALIMAT TERTUTUP

   1. Kalimat Tertutup
Kalimat tertutup adalah kalimat berita (deklaratif) yang dapat dinyatakan nilai kebenarannya, bernilai benar atau salah saja, tetapi sekaligus bernilai benar dan salah. Kalimat tertutup sering disebut pernyataan.
a. Kalimat tertutup yang bernilai benar adalah kalimat yang menyatakan hal-hal sesuai dengan kenyataan / keadaan yang berlaku umum.
Contoh :
1. 2 adalah bilangan genap.
2. 4 + 3 > 6.
3. Kuda termasuk hewan herbivora.
b. Kalimat tertutup yang bernilai salah adalah kalimat yang menyatakan hal-hal tidak sesuai dengan kenyataan / keadaan yang berlaku umum.
Contoh :
1. Indonesia termasuk negara di Asia Timur.
2. 6 + 4 = 12.
3. 7 - 8 > 0.

     2. Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Suatu kalimat matematika yang masih memuat variabel (peubah) merupakan kalimat terbuka karna nilai kebenarannya belum dapat ditentukan.
Contoh :
a. 2 + 3a = 10 adalah kalimat terbuka dengan variabel a.
b. 3p + 4 = 12 adalah kalimat terbuka dengan variabel p.
c. "Tiga dikurangi m sama dengan satu" adalah kumat terbuka dengan variabel m.
d. "Anak itu bersekolah di SMPN I Yogyakarta" adalah kalimat terbuka dengan variabel anak itu.
     Pada kalimat terbuka 2 + 3a = 10, huruf a disebut variabel, bilangan 2 dan 10 disebut kostanta, dan bilangan 3 disebut koefisien variabel a. Variabel adalah simbol pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya secara jelas. Variabel biasanya disimbolkan dengan huruf kecil a, b, c, d, ... , z. Kostanta adalah bilangan tetap (tertentu) yang terdapat pada kalimat terbuka. Koefisien adalah bilangan yang menyertai variabel.

HIMPUNAN

MATERI HIMPUNAN
1. Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas,
sehinggadengan tepat dapat diketahuiobjek yang termasuk himpunan dan yang tidak
termasuk dalam himpunan tersebut.
Contoh Himpunan
 Kumpulan kabupaten yang ada di provinsi Yogyakarta
 Kumpulan nama siswa kelas VII C yang diawali huruf K
2. Jenis-jenis Himpunan
a. Himpunan kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota
Contoh : Himpunan buah yang rasanya asin
b. Himpunan tak kosong
Himpunan tak kosong adalah himpunan yang memiliki anggota
Contoh : Himpunan bilangan prima kurang dari 10
3. Pengertian Himpunan Semesta
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunanyang memuat semua
anggota atau objek himpunan yang dibicarakan.Himpunan semesta (semesta
pembicaraan) biasanya dilambangkan dengan S.
Contoh Himpunan Semesta
Misalkan A = {2, 3, 5, 7}, maka himpunan semestayang mungkin dari himpunan A
adalah sebagai berikut,
 S = {bilangan prima} atau
 S = {bilangan asli} atau
 S = {bilangan cacah}.
Himpunan semesta yang mungkin dari {kerbau, sapi, kambing} adalah {binatang},
{binatang berkakiempat}, atau {binatang memamah biak}
4. Pengertian Diagram Venn
Diagram venn adalah suatu cara menyatakan himpunan dengan menggunaan gambar.
Diagram venn dapat diartikan sebagai sebuah diagram yang didalamnya terdapat seluruh
kemungkinan benda ataupun objek.
Dalam diagram Venn, himpunan semesta dinyatakan dengandaerah persegi panjang,
sedangkan himpunan lain dalam semestapembicaraan dinyatakan dengan kurva mulus
tertutup sederhana dan noktah-noktah untuk menyatakan anggotanya.
Contoh diagram venn
Diketahui
S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9};
P = {0, 1, 2, 3, 4}; dan Q = {5, 6, 7}.
Himpunan S = {0, 1, 2, , 4, ..., 9}
adalah himpunan semesta. Dalam
diagram Venn, himpunan semesta
dinotasikan dengan S berada di pojok
kiri.
5. Notasi dan Anggota Himpunan
Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar
(kapital)A,B,C, ...,Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpuna tersebut
ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.
Contoh:
 A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6, sehingga A ={0,1,2,3,4,5}.
 P adalah himpunan huruf-huruf vokal, sehingga P={a,i,u,e,o}.
6. Menyatakan Suatu Himpunan
Dapat dinyatakan dengan 3 cara:
a. Dengan kata-kata
Contoh:
 P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40. Ditulis
 P={bilangan prima antara 10 dan 40}.
b. Dengan notasi pembentuk himpunan
Contoh:
 P adalh himpunan biangan prima antar bilangan 10 dan 40. Ditulis
 P={10<x<40, x ∈ bilangan prima}.
c. Dengan mendaftar anggota-anggotanya
Contoh:
 P adalh himpunan bilangan prima antar 10 dan 40. Ditulis
 P= {11,13,17,19,23,29,31,37}
7. Himpunan Bagian
Himpunan A merupakan himpunan bagian B jika setiap anggota A menjadi anggota B
dengan menotasikan A⊂B atau B⊃A.
Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B jika terdapat anggota A yang
bukan anggota B dan dinotasikan A⊄B.
Setiap himpuna A merupakan himpunan bagian dari himpunan A sendiri, ditulis
A⊂A.
contoh:
Diketahui K={1,2,3}, tentukan himpunan bagian dari K yang mempunya
a. Satu anggota
b. Dua anggota
c. Tiga anggota
Dijawab:
a. Himpunan bagian K yang mempunyai 1 anggota adalah {1},{2},{3}
b. Himpunan bagian K yang mempunyai 2 anggota adalah {1,2},{1,3},{2,3}
c. Himpunan bagian K yang mempunyai 3 anggota adalah {1,2,3}
8. Menentukan Banyaknya Himpunan Bagian dari Suatu Himpunan
Banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2¬¬n, dengan n banyaknya
anggota himpunan tersebut. Banyaknya himpunan bagian adalah himpunan kuasa.
Contoh:
 Himpunan bagian dari {a,b,c,d} yang mempunyai 0 anggota ada 1, yaitu { };
 1 anggota ada 4, yaitu {a},{b},{c},{d};
 2 anggota ada 6, yaitu {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d};
 3 anggota da 4, yaitu {a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d};
 4 anggota ada 1, yaitu {a,b,c,d};

SOAL DAN JAWABAN BILANGAN

1. Suatu saat suhu di Kota London 6°C dibawah nol, sedangkan suhu di Kota Bandung 20°C di atas nol. Penulisan suhu kedua kota tersebut berturut-turut..
A. - 6°C dan - 20°C
B. - 6°C dan 20°C
C. 6°C dan - 20°C
D. 6°C dan 20°C
Jawabannya adalah C. 6°C dan - 20°C
2. Perhatikan ketidaksamaan berikut.
i. - 5 < 3
ii. - 4 > - 8
iii. 11 > - 7
iv. - 9 < - 19
A. i dan iii
B. ii dan iv
C. i, ii dan iii
D. ii, iii dan iv
Jawabannya adalah B. ii dan iv
3. Bilangan dibawah ini yang terletak di antara - 87 dan 56 adalah...
A. 71
B. 78
C. - 54
D. - 89
Jawabannya adalah C. - 54
4. Diketahui a, b dan c bilangan bulat. Jika - b > - a dan c > a, ketidaksamaan yang benar adalah...
A. a < b < c
B. a < c < b
C. -c < -b < -a
D. -c < -a < -b
Jawabannya adalah C. -c < -b < -a
5. n - (-3) = - 17, nilai n = ...
A. - 20
B. - 14
C. 14
D. 20
Jawabannya adalah A. - 20
6. Suhu suatu ruang pendingin mula-mula 3°C dibawah nol, lalu diturunkan 15°C. Suhu diruang pendingin sekarang adalah ...
A. - 18°C
B. - 12°C
C. 12°C
D. 18°C
Jawabannya adalah A. - 18°C
7. Kota A berada 275 m diatas permukaan air laut, sedangkan kota B berada 85 m dibawah permukaan air laut. Perbedaan tinggi kedua kota tersebut adalah ... m
A. 85
B. 90
C. 190
D. 360
Jawabannya adalah D. 360
8. Hasil dari - 6 x (-5) x 11 x 8 adalah ...
A. - 2640
B. - 2460
C. 2460
D. 2640
Jawabannya adalah A. - 2640
9. Hasil dari 180 : (12 : (-3)) adalah ...
A. 45
B. 5
C. - 5
D. - 45
Jawabannya adalah D. - 45
10. Hasil dari 100 : (-10) : 5 adalah ...
A. 2
B. - 2
C. - 20
D. - 50
Jawabannya adalah B. - 2

OPERASI PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN BULAT

Lanjutkan Materi Bilangan..

C. OPERASI PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN BULAT

1.Perkalian
Perkalian bilangan bulat meliputi Perkalian bilangan positif dan dengan bilangan positif, bilangan negatif dengan bilangan negatif, dan bilangan positif dengan bilangan negatif. Misalkan a dan b bilangan bulat positif, Perkalian a dan b adalah penjumlahan berulang bilangan b sebanyak a suku.
Ditulis a x b = b + b + b + ... + b
Sebanyak a suku
Contoh : 5 x 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6
6 x (-3) = - 3 + (-3) + (-3) + (-3) + (-3) + (-3)
Beberapa sifat pada Perkalian dua bilangan bulat sebagai berikut.
A. Hasil kali dua bilangan yang bertanda sama (keduanya bilangan positif atau keduanya bilangan negatif) berupa bilangan positif.
a x b = ab
(-a)  x (-b)  = ab
Contoh :
6 x 5 = 30
-3 x (-4) = 3 x 4 = 12
B. Hasil dua kali bilangan yang bertanda beda (bilangan positif dengan bilangan negatif) berupa bilangan negatif.
-a x b = - ab
a x (-b) = - ab
Contoh :
-4 x 5 = - (4 x 5) = - 20
7 x (-8) = - (7 x 8) = - 56
Adapun sifat sifat Perkalian pada bilangan bulat sebagai berikut.
A. Perkalian antarbilangan bulat menghasilkan bilangan bulat (sifat tertutup)
B. Hasil Perkalian bilangan 0 dengan bilangan bulat lainnya sama dengan 0.
C. Bilangan 1 merupakan unsur identitas pada Perkalian. Setiap bilangan bulat dikalikan dengan 1 menghasilkan bilangan itu sendiri.
D. Perkalian dua bilangan bulat bersifat komutatif
E. Perkalian tiga bilangan bulat bersifat asosiatif.
F. Perkalian bilangan bulat bersifat distributif terhadap penjumlahan dan distributif terhadap pengurangan.

2. Pembagian
Perkerjaan hitung pembagian merupakan pengurangan berulang sampai habis. Pengerjaan hitung pembagian juga merupakan invers (kebalikan) dari Perkalian.
Sifat - sifat pembagian dua bilangan bulat %
A. Suatu bilangan bulat dibagi bilangan bulat lain yang bertanda sama menghasilkan bilangan positif.
B. Suatu bilangan bulat dibagi bilangan bulat lain yang bertanda tidak sama menghasilkan bilangan negatif.
C. Untuk a, b dan c bilangan bulat maka a : b = c => a = b x c untuk b tidak sama dengan 0
D. Untuk a bilangan bulat dan a tidak sama dengan 0 berlaku a = 0
E.  Setiap bilangan bulat dibagi 0 (nol)  hasilnya tidak terdefinisi.
F. Setiap a dan b bilangan bulat, hasil dari a : b tidak selalu bilangan bulat. Jadi, pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.

Sumber : LKS KELAS 7 SEMESTER 1 KARYA INTAN PERWIRA

SOAL DAN PEMBAHASAN APLIKASI TEORI BILANGAN

SOAL DAN JAWABAN MATERI APLIKASI TEORI BILANGAN

1. Tentukan karakter uji
0 - 3015 - 4383 - ...
Sigma 9 i = 1 mod 11
Jawab :
*Mencari Karakter Uji
= 1 x 0 + 2 x 3 + 3 x 0 + 4 x 1 + 5 x 5 + 6 x 4 + 7 x 3 + 8 x 8 + 9 x 3
= 0 + 6 + 0 + 4 + 25 + 24 + 21 + 64 + 27
= 171
= 171 mod 11
= 11 x 15 + 6
= 6
Jadi, karakter ujinya adalah 6

2. Mod 11 mempunyai sel-sel memori yang diberi indeks 0-10 akan disimpan data record yang masing-masing mempunyai kunci 12, 246, 30 dan 132.
12 mod 11 = 1 x 11 + 1 = 1
246 mod 11 = 22 x 11 + 4 = 4
30 mod 11 = 2 x 11 + 8 = 8
132 mod 11 = 12 x 11 + 0 = 0

Jadi,
132 berada di 0
12 berada di 1
2 tidak ada
3 tidak ada
236 berada di 4
5 tidak ada
6 tidak ada
7 tidak ada
30 berapa di 30
9 tidak ada
10 tidak ada
3. Mod 7 mempunyai sel-sel memori yang diberi indeks 0-6 akan di simpan data record yang masing-masing mempunyai kunci 48, 312, 112, 60, dan 220
48 mod 7 = 6 x 7 + 6 = 6
312 mod 7 = 44 x 7 + 4 = 4
112 mod 7 = 16 x 7 + 0 = 0
60 mod 7 = 8 x 7 + 4 = 4
220 mod 7 = 31 x 7 + 3 = 3

Jadi,
112 berada di 0
1 tidak ada
2 tidak ada
312 dan 60 berada di 4
5 tidak ada
48 berada di 6
4. Planteks : PASTI BISA
Kunci Rahasia : Tiap alpabet bergeser 3 huruf ke kanan
Mod 26
Planteks Asal : ...?
A-Z dimulai dari angka 0-25
Eksripsi (dari asli ke asal)
Rumus : C1 = E (P1) = (P1 + K) mod 26
Jawab :
C1 = E (15) = (15+3) mod 26 = 18 (S)
C2 = E (0) = (0+3) mod 26 = 3 (D)
C3 = E (18) = (18+3) mod 26 = 21 (V)
C4 = E (19) = (19+3) mod 26 = 22 (W)
C5 = E (8) = (8+3) mod 26 = 11 (L)
C6 = E (1) = (1+3) mod 26 = 4 (E)
C7 = E (8) = (8+3) mod 26 = 11 (L)
C8 = E (18) = (18+3) mod 26 = 21 (V)
C9 = E (0) = (0+3) mod 26 = 3 (D)
Jadi, planteks asalnya dari PASTI BISA adalah SDVWL ELVD
5. Planteks : AQIDAH
Kunci Rahasia : Tiap Huruf Alpabet Bergeser 2 huruf ke Kanan
Planteks Asal ...?
A-Z dimulai dari angka 0-25
Eksripsi (dari asli ke asal)
Rumus : C1 = E (P1) = (P1 + K) mod 26
Jawab :
C1 = E (0) = (0+2) mod 26 = 2 (C)
C2 = E (16) = (16+2) mod 26 = 18 (S)
C3 = E (8) = (8+2) mod 26 = 10 (Q)
C4 = E (3) = (3+2) mod 26 = 5 (F)
C5 = E (0) = (0+2) mod 26 = 2 (C)
C6 = E (7) = (7+2) mod 26 = 9 (J)
Jadi, planteks asalnya dari AQIDAH adalah CSQFCJ

Nah, segitu dulu soal dan pembahasan tentang Aplikasi Teori Bilangan, jika teman-teman kurang mengerti bisa langsung komentar dibawah sini ya.

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT DAN HIMPUNAN PENYELESAIANNYA

Pertidaksamaan Kuadrat dan Himpunan Penyelesaiannya

Cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat diawali dengan menentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat. Cara menentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat masih sama dengan cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Hanya saja diperlukan langkah dengan mengambil harga nol nya. Untuk metode yang digunakan untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat bisa menggunakan metode pemfaktoran, menggunakan rumus abc, atau metode melengkapkan kuadrat sempurna.
Setelah mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat, langkah berikutnya adalah menggambar garis bilangan yang sesuai dan menentukan titik uji. Titik uji digunakan untuk menentukan daerah pada garis bilangan tersebut, apakah positif atau negatif. Setelah mendapatkan daerahnya, langkah berikutnya adalah menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan yang diberikan. Secara ringkas, cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dapat dilihat melalui ringkasan pada daftar di gambar berikut

Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat

Sama seperti pada persamaan kuadrat pada umumnya. Pangkat tertinggi pada pertidaksamaan kuadrat adalah 2 (dua). Perbedaan antara persamaan kuadrat dan pertidaksamaan kuadrat hanya terletak pada tanda penghubungnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh perbedaan antara persamaan kuadrat dan pertidaksamaan kuadrat yang diberikan melalui tabel di bawah.



Menentukan Akar-Akar Pertidaksamaan Kuadrat

Langkah pertama untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah menentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat. Pada bagian awal telah disinggung bahwa cara menentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat sama dengan cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Perbedaannya hanya dengan mengambil harga nol dari soal pertidaksamaan kuadrat yang diberikan.

Cara mengambil nilai nol dari pertidaksamaan kuadrat hanya dengan cara mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan. Sehingga diperoleh bentuk sementara berupa persamaan kuadrat. Sebagai contoh, perhatikan cara mengambil harga nol dari pertidaksamaan berikut ini.



Cara yang sama juga berlaku untuk semua tanda pertidaksamaan.

Dengan mengambil nilai nol, sobat idschool akan mendapatkan persamaan kuadrat. Selanjutnya, cari akar-akar yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dapat menggunakan metode pemfaktoran, rumus abc, atau metode melengkapkan kuadrat sempurna.

Setelah mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat yang memenuhi. Buatlah garis bilangan dan menentukan nilai pada masing-masing daerah. Nilai yang dimaksud di sini dapat berupa nilai positif (+) atau negatif .

Simak ulasan lebih lengkap mengenai garis bilangan dan cara menentukan tanda pada masing-masing daerah pada pembahasan di bawah.

Garis Bilangan dan Cara Menentukan Tanda pada Masing-Masing Daerah

Misalkan nilai akar-akar yang diperoleh dari perhitungan sebelumnya adalah a dan b. Maka garis bilangan yang dapat dibentuk dapat dilihat seperti gambar di bawah.



Setelah dapat membentuk daerah garis bilangan seperti pada gambar di atas, berikutnya adalah menentukan nilai pada masing-masing daerah. Caranya adalah dengan mengambil satu titik uji pada suatu daerah.

OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULAT

Lanjutan Materi Bilangan..

B. OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULAT

1. Penjumlahan Bilangan Bulat
a.  Cara Melakukan Penjumlahan Bilangan Bulat
  1. Penjumlahan dengan Mistar Hitung
   Misalkan kita akan menjumlahkan - 4 + 15 menggunakan mistar hitung.

  2. Penjumlahan dengan Garis Bilangan

Akan ditentukan hasil - 5 + 12 menggunakan garis bilangan.

3. Penjumlahan Secara Langsung

Misalkan a dan b bilangan bulat, maka:

a + b = a + b

-a + (-b) = -(a + b) 

a + (-b) = a -  b

-a + b = - (a-b) 

Contoh : - 12 + 5 = - (12 - 5) = - 7 👈 - a + b = -(a-b) 

-8 + (-12) = -(8 + 12) = - 20 👈 - a + (-b)  = - (a+b) 

b. Sifat - Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat

  1. Pada penjumlahan dua bilangan bulat berlaku sifat komutatif (pertukaran). 

a + b = b + a

Contoh : 5 + (-12) = - 12 + 5 = 7

  2. Pada penjumlahan tiga bilangan bulat berlaku sifat asosiatif (pengelompokan).  

(a+b)  + c = a + (b+c) 

Contoh : (6+8) + (-3) = 6 + (8+(-3)) = 6 + 8 - 3 = 6 + 5 = 11

  3. Penjumlahan dua atau lebih bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat (sifat tertutup).  

Jika a dan b bilangan bulat maka a + b = c bilangan bulat. 

Contoh : 9 + (-13) = - 4 👉 (9, - 13, - 4 berupa bilangan bulat) 

  4. Bilangan 0 disebut unsur identitas pada penjumlahan. 

Penjumlahan Bilangan Bulat dengan 0, hasilnya bilangan bulat itu sendiri. 

a + 0 = 0 + a = a

Contoh : - 11 + 0 = 0 + (-11) = - 11

19 + 0 = 0 + 19 = 19

  5. Hasil penjumlahan Bilangan Bulat dengan lawannya sama dengan nol. 

a + (-a) = - a + a = 0

Contoh : - 15 + 15 = 15 + (-15) = 0

2. Pengurangan Bilangan Bulat 

a. Cara Melakukan Pengurangan Bilangan Bulat 

  Pengerjaan hitung penjumlahan dan pengurangan merupakan dua operasi hitung yang saling berlawan.  Hal ini berarti pengurangan a oleh b sama dengan penjumlahan a dengan lawan b. 

a - b = a + (-b) 

a - (-b) = a + b

Contoh : perhatikan pola pengurangan berikut. 

7 - 5 = 2

5 - 7 = 5 + (-7) = - 2

14 - 6 = 8

6 - 14 = 6 + (-14) = - 8

b. Sifat - Sifat Pengurangan Bilangan Bulat 

Pengurangan pada bilangan bulat bersifat tertutup. 

Jika a dan b bilangan bulat maka a - b = c bilangan bulat 

Contoh : - 15 - 7 = - 21 👈 (-15, - 7 dan - 21 berupa bilangan bulat) 

SUMBER : LKS MATEMATIKA KELAS VII SEMESTER 1 INTAN PERWIRA 

MEMBANDINGKAN BILANGAN BULAT

BILANGAN

A. MEMBANDINGKAN BILANGAN BULAT
     Suhu udara di suatu tempat dapat diketahui dengan cara mengukur. Untuk mengukurnya menggunakan titik acuan, yaitu suhu 0°C. Dengan titik acuan tersebut dapat ditentukan suhu udara di suatu tempat. Suhu udara bisa mencapai nilai x di atas nol derajat atau nilai y dibawah nol derajat.

1. Bilangan Bulat
     Sebelum menjelaskan bilangan bulat, mari menyebutkan bilangan asli dan bilangan cacah.
Bilangan asli yaitu A = 1, 2, 3, ...
Bilangan cacah yaitu C = 0, 1, 2, 3, ...
Bilangan bulat yaitu B = ...,  - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...
Bilangan bulat merupakan bilangan bulat positif, 0, dan bilangan bulat negatif.
Bilangan 0 bukan bilangan positif maupun negatif.
Jadi, dapat dikatakan bahwa himpunan bilangan asli merupakan himpunan bagian dari bilangan bulat. Himpunan bilangan cacah juga merupakan himpunan bagian dari bilangan bulat.
     Letak suatu bilangan bulat pada garis bilangan bulat seperti dibawah ini.
Bilangan bulat negatif terletak disebelah kiri 0.
Bilangan bulat positif terletak disebelah kanan 0.

2. Membandingkan dan Mengurutkan Bilangan Bulat
     Pada garis bilangan, semakin ke kanan letak suatu bilangan, nilainya semakin besar. Sebaliknya, semakin ke kiri letak suatu bilangan, nilainya semakin kecil. Perlu kamu ketahui bahwa setiap bilangan positif selalu lebih besar dari bilangan negatif.
Contoh :
a. 2 berada disebelah kanan - 3. Artinya 2 lebih dari - 3 atau - 3 kurang dari 2.
b. 6 berada disebelah kanan - 5. Artinya 6 lebih dari - 5 atau - 5 kurang dari 6.
Dari contoh di atas dapat ditulis sebagai berikut :
a. 2 > - 3 atau - 3 < 2
b. 6 > - 5 atau - 5 < 6

3. Lawan Suatu Bilangan Bulat
     Setiap bilangan bulat mempunyai lawan.
a. Lawan bilangan a adalah bilangan - a
b. Lawan bilangan - a adalah bilangan a


Sumber : LKS MATEMATIKA KELAS VII SEMESTER 1 INTAN PERWIRA

APLIKASI TEORI BILANGAN

APLIKASI TEORI BILANGAN
1. ISBN (International Book Series Number)
Terdiri dari 10 karakter, biasanya dikelompokan dengan spasi atau garis.
Misalnya : 0 – 3015 – 4561 – 8
Keterangan :
0 merupakan kode yang mengidentifikasi bahasa
3015 merupakan kode penerbit
4561 merupakan kode unik untuk buku
8 merupakan karakter uji

Contoh :
Tentukan kode ISBN buku 0 – 3015 – 4561 – 8
o Mencari karakter uji
1 . 0 + 2 . 3 + 3 . 0 + 4 . 1 + 5 . 5 + 6 . 4 + 7 . 5 + 8 . 6 + 9 . 1
= 0 + 6 + 0 + 4 + 25 + 24 + 35 + 48 + 9
=151
151 mod 11 = 11 . 13 + 8
= 8
o Mencari kode buku
151 + 10 . 8
= 231
231 0 (mod 11)
= 8
Artinya benar bahwa kode buku adalah 8

2. Fungsi Hash
Fungsi hash digunakan untuk pengalamatan di memori atau penyimpanan
data. Terdiri dari :
1) m merupakan jumlah lokasi memori yang tersedia
2) k merupakan kunci (integer)
3) h(k) merupakan lokasi memori
Contoh :
m = 11 mempunyai sel-sel memori yang diberi indeks 0 sampai 10 akan
disimpan data record yang masing-masing mempunyai kunci 15, 558, 32, 132,
102 dan 5

15 mod 11 = 11 . 1 + 4 = 4
558 mod 11 = 11 . 50 + 8 = 8
32 mod 11 = 11 . 2 + 10 = 10
132 mod 11 = 11 . 12 + 0 = 0
102 mod 11 = 11 . 9 + 3 = 3
5 mod 11 = 11 . 0 + 5 = 5

3. Kriptografi (Secret Writing)
Fungsi kriptografi adalah untuk menjaga keamanan pesan. Algoritma
kriptografi dinamakan Caesar Chipher.
Planteks -> Enskripsi -> Deskripsi -> Planteks asal
Rumus :
Enkripsi : C1 = E (P1) = (P1 + k) mod 26
Deskripsi : P1 = D (C1) = (C1 – k) mod 26
Dimana k adalah kunci rahasia.
Contoh :
A B C D E … Z
0 1 2 3 4 … 25
Planteks : Awasi asterik dan temannya obelik.
Kunci rahasia : tiap huruf alphabet bergeser 3 huruf ke kanan.
Enskripsi
C1 = E (P1) = (P1 + 3) mod 26
C1 = E (0) = (0 + 3) mod 26 = 3 mod 26 = 26 . 0 + 3 = 3 > D
C2 = E (P2) = (P2 + 3) mod 26
C2 = E (22) = (22 + 3) mod 26 = 25 mod 26 = 26 . 0 + 25 = 25 > Z
C3 = E (P3) = (P3 + 3) mod 26
C3 = C1 > D
Planteks asal : DZD………
Deskripsi
P1 = D (C1) = (C1 – 3) mod 26
P1 = D (3) = (3 – 3) mod 26 = 0 mod 26 = 0 > A
P2 = D (C2) = (C2 – 3) mod 26
P2 = D (25) = (25 – 3) mod 26 = 22 mod 26 = 26 > W
Planteks awal : AW…..

SUMBER : BU WINDIA HADI M.Pd

DOSEN : UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

MATAKULIAH : TEORI BILANGAN

SOAL KEKONGRUENAN LANJAR DAN PEMBAHASANNYA

PENGERTIAN INDUKSI MATEMATIKA DAN PRINSIPNYA

A. PENGERTIAN INDUKSI MATEMATIKA
Induksi Matematika adalah merupakan teknik pembuktian yang baku didalam matematika. Induksi matematika digunakan untuk pembuktian pernyataan yang khusus menyangkut bilangan bulat positif.
a. Deduksi (khusus ke umum)
b. Induksi (umum ke khusus)

B. PRINSIP INDUKSI SEDERHANA
Misal p(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n bilangan bulat positif. Kita ingin membuktikan bahwa p(n)  benar untuk semua bilangan bulat positif.
Langkah Induksi :
1. Basis Induksi : Tunjukkan (p1) benar
2. Hipotesa Induksi : misal p(n)  benar untuk semua bilangan positif n>1
3. Buktikan bahwa p(n+1) benar

Contoh :

PENGERTIAN, FAKTA, PRINSIP, SKILL DALAM KESULITAN BELAJAR MATEMATIKA

SOAL DAN PEMBAHASAN SISTEM BILANGAN

1. Sebutkan bilangan komposit kurang dari 20 !
Jawaban : 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14,15, 16, 18
2. 9/4 merupakan bilangan …..
Jawaban : Bilangan pecahan
3. Akar 4 merupakan bilangan ……
Jawaban : Bilangan rasional
4. Apakah perbedaan bilangan rasional dan bilangan pecahan?
Jawaban : Bilangan rasional ketika a/b b ≠ 0 dan bisa dihasilkan. Contoh : 2/2, 4/2
Bilangan pecahan a/b b tidak sama dengan 0 .  a sebagai pembilang, b sebagai penyebut.
5. Bilangan prima merupakan …….
Jawaban : Bilangan yang tidak bisa dibagi oleh bilangan apapun kecuali bilangan itu sendiri.
6. Bilangan asli yang lebih besar dari satu dan mempunyai lebih dari 2 faktor disebut ….
Jawaban : Bilangan komposit.
7. 2/5 merupakan bilangan …..
Jawaban : Bilangan pecahan.
8. -1 merupakan bilangan ……
Jawaban : Bilangan bulat negatif.
9. Perbedaan bilangan cacah dan bilangan asli adalah ….
Jawaban : Bilangan cacah adalah bilangan yang diawali dari angka 0 dst.
Bilangan asli adalah bilangan yang diawali dari angka 1 dst.
10. Sebutkan bilangan prima yang kurang dari 20 !
Jawaban : 2, 3, 5, 7, 11, 13,17,19
11. 4/2 termasuk kedalam bilangan ….
Jawaban : Bilangan rasional.
12. Manakah yang termasuk bilangan kompleks …
      a. Akar 5    b. 8            c. log 10          d. 5 + 8i
Jawaban : D. 5 + 8i
13. Log 81 merupakan bilangan ….
Jawaban : Bilangan riil
14. Dibawah ini yang merupakan kelompok bilangan asli …
A. Bilangan satu      
B. Bilangan prima
C. Bilangan komposit
D. Bilangan rasional
Jawaban : D. Bilangan rasional
15. Sepuluh bilangan komposit pertama adalah …
Jawaban : 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18
16. Bilangan komposit pada dadu adalah …..
Jawaban : 4, 6

SUMBER : BU WINDIA HADI M.Pd

DOSEN : UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

MATAKULIAH : TEORI BILANGAN

SOAL-SOAL OSN MATEMATIKA DAN PEMBAHASANNYA TINGKAT SMP

Soal-Soal OSN Matematika tingkat SMP
Ada 20 soal nih yang baru kami kerjakan, ohia kami adalah kelompoknya Kerucut dikelas kemi, mau tau caranya? Langsung aja lihat deh gimana caranya, jangan lupa komentar ya jika kalian merasa belum paham atau malah jadi kami yang salah :)